有限数学示例

$x = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 9 x + 18}$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} - 9 x + 18}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 9 x + 18}$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 9 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $- 9$ 。

$- 6, - 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

解题步骤 1.4

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$ 。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x - 3$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$1, x - 3$

解题步骤 2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x - 3$

解题步骤 3

将 $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ 中的每一项乘以 $x - 3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ 中的每一项乘以 $x - 3$ 。

$x (x - 3) = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$x^{2} - 3 x = x + 6$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 3 x - x = 6$

解题步骤 4.1.2

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 4 x = 6$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} - 4 x - 6 = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

将 $16$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 4.5.1.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 4.5.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{10}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

小数形式：

$x = 5.16227766 \dots, - 1.16227766 \dots$

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